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1、试题题目:函数f(x)=11+a?2bx的定义域为R,且limn→∞f(-n)=0(n∈N*)(Ⅰ)求证:a..

发布人:华联文学网(www.ctcpro.cn) 发布时间:2015-12-01 07:30:00

试题原文

函数f(x)=
1
1+a?2bx
的定义域为R,且
lim
n→∞
f(-n)=0(n∈N*)
(Ⅰ)求证:a>0,b<0;
(Ⅱ)若f(1)=
4
5
,且f(x)在[0,1]上的最小值为
1
2
,试求f(x)的解析式;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下记Sn=f(1)+f(2)+…+f(n)(n∈N),试比较Sn与n+
1
2n+1
+
1
2
(n∈N*)
的大小并证明你的结论.

  试题来源:不详   试题题型:解答题   试题难度:中档   适用学段:高中   考察重点:函数的单调性、最值



2、试题答案:该试题的参考答案和解析内容如下:
解(Ⅰ)∵f(x)定义域为R,∴1+a?2bx≠0,即a≠-2-bx而x∈R,∴a≥0.
若a=0,f(x)=1与
lim
n→∞
f(-n)=0矛盾,∴a>0,∴
lim
n→∞
f(-n)=
lim
n→∞
1
1+a?2-bx
=
1(0<2-b<1)
1
1+a
(2-b=1)
0(2-b>1)
∴2-b>1即b<0,故a>0,b<0.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)在[0,1]上为增函数,
∴f(0)=
1
2
,即
1
1+a
=
1
2
,∴a=1,f(1)=
1
1+a?2b
=
4
5

∴2b=
1
4
,∴b=-2,∴f(x)=
1
1+2-2x
=
4x
1+4x
=1-
1
1+4x

(Ⅲ)当k∈N*时,Sn<n+
1
2n+1
+
1
2
,证明如下:
f(k)=1-
1
1-4k
<1,∴f(1)+f(2)+f(3)++f(n)<n
而n+
1
2n+1
+
1
2
>n,∴k∈N*时,Sn<n+
1
2n+1
+
1
2
3、扩展分析:该试题重点查考的考点详细输入如下:

    经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后,可以看出该题目“函数f(x)=11+a?2bx的定义域为R,且limn→∞f(-n)=0(n∈N*)(Ⅰ)求证:a..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看:“高中函数的单调性、最值”。


4、其他试题:看看身边同学们查询过的数学试题:

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